2. Physikalische Grundlagen Die Hauptkomponente einer Windkraftanlage ist ein Energiewandler, der die kinetische Energie des Windes in mechanische Arbeit umsetzt. Die Detailbeschaffenheit dieser Energiewandler ist vorerst noch gleichgültig. Der Vorgang des Entzuges von mechanischer Arbeit aus einem bewegtem Luftstrom mit Hilfe eines scheibenförmigen, rotierenden Windenergiewandlers folgt einer eigenen grundsätzlichen Gesetzmäßigkeit.

Erkannt hat dies Albert Betz in den Jahren 1922 - 1925. Er zeigte durch die Anwendung elementarer physikalischer Gesetze, daß die entnehmbare mechanische Leistung aus einem Luftstrom, der durch eine vorgegebene Querschnittsfläche strömt, auf einen ganz bestimmten Wert im Verhältnis zu der im Luftstrom enthaltenen Leistung begrenzt ist. Darüber hinaus erkannte Betz, daß der optimale Leistungsentzug von einem bestimmten Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit vor und hinter dem Energiewandler abhängig ist.

Die Betzsche Theorie setzt einen verlustlos arbeitenden Energiewandler und eine reibungsfreie Strömung voraus und enthält viele Vereinfachungen. Die Ergebnisse sind jedoch für praktische Überschlagsberechnungen durchaus brauchbar. Ihre wahre Bedeutung liegt jedoch darin, daß sie eine gemeinsame physikalische Grundlage für das Verständnis und die Wirkungsweise von Windenergiewandlern unterschiedlicher Bauart bildet. Die physikalischen und technischen Grundlagen über Windkraftanlagen werden in der Literatur in verschiedenster Weise abgehandelt und dargestellt. Um einen gesamten einheitlichen Überblick zu bieten, wurden zur Erläuterung im wesentlichen die Beschreibungen von Hau [17], Gasch [15] und Kaltschmitt [25] herangezogen.


2.1 Impulstheorie nach Betz In bewegten Luftmassen ist kinetische Energie diejenige die technisch nutzbar gemacht werden kann. Die gesamte im Wind enthaltene Energie errechnet sich dabei aus der Masse der Luft und der Luftströmungsgeschwindigkeit entsprechend der Gleichung (2.1).

                                                                                                                                                            (2.1)

E Windenergie in [Nm]
m Masse der Luft in [kg]
v Windgeschwindigkeit in [m/s]

Der Volumenstrom ist definiert als ein durch eine Fläche A pro Zeiteinheit hindurchfließendes Volumen.
 

                                                                                                                                                                 (2.2)

Für den Massenstrom gilt gleiches mit der Luftdichte r .
 

                                                                                                                                                           (2.3)

Dem Wind kann Energie immer nur auf einer bestimmten, begrenzten Fläche entzogen werden. Bei Windkraftanlagen beispielsweise durchströmen die Luftmassen die vom Rotor überstrichene Kreisfläche. Die Leistung des Windes ergibt sich durch die durch die Fläche A hindurchfließende Energiemenge pro Zeit und läßt sich dann über den Massenstrom bestimmen.

                                                                                                                              (2.4)

P Leistung des Windes in [W]
Massenstrom der Luft in [kg/s]
v Windgeschwindigkeit in [m/s]
r Dichte der Luft in [kg/m³]
A durchströmte (Rotor-)Fläche in [m²]

Die im Wind enthaltene Leistung steigt mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit der bewegten Luftmassen exponentiell an. Die kinetische Energie der bewegten Luftmassen kann durch die Abbremsung der Luftmassen mittels des Rotors einer Windkraftanlage in eine mechanische Drehbewegung und damit wieder in kinetische Energie umgewandelt werden.

Das Problem besteht darin, herauszufinden, wieviel mechanische Leistung sich durch einen Energiewandler dem Luftstrom entziehen läßt. Da der Entzug von mechanischer Leistung nur auf Kosten der im Windstrom enthaltenen kinetischen Energie möglich ist, heißt dies bei unverändertem Massenstrom, daß die Geschwindigkeit hinter dem Windenergiewandler abnehmen muß. Die Verringerung der Geschwindigkeit bedeutet gleichzeitig eine Aufweitung des Querschnittes, da der gleiche Massenstrom hindurchtreten muß. Es ist also notwendig, die Zustände vor und hinter dem Wandler zu betrachten.

Die Leistung, die dem Wind entzogen werden kann, errechnet sich aus der Differenz der Windleistung vor (P1) und hinter (P2) dem Rotor.

                                                (2.5)

 

 

Unter Einbeziehung der Kontinuitätsbeziehung

                                                                                                                              (2.6)

erhält man nun
 

                                                                                           (2.7)

Abb. 2: Strömungsverhältnisse beim Entzug mechanischer
Leistung aus einem Luftstrom [17, S.62]

Aufgrund des Massenerhaltungssatzes muß in allen drei Flächen A1, A, A2 der Massendurchsatz gleich sein; die Strömungsröhre weitet sich deshalb entsprechend auf. Die Dichte der Luft r wird dabei als näherungsweise konstant angenommen.

Man könnte aus obiger Beziehung nun schließen, daß dem Wind die meiste Leistung zu entziehen ist, wenn v2 gleich Null ist. Das würde bedeuten, daß die Luft durch den Rotor vollständig abgebremst wird. Dies ist jedoch aus physikalischer Sicht unmöglich. Würden die Luftmassen in der durchströmten (Rotor-)Fläche vollständig abgebremst und demzufolge nicht abtransportiert, käme es zu einer "Verstopfung" der Querschnittsfläche für die folgenden Luftmassen. Es fände überhaupt keine Strömung mehr statt. Aber auch eine Durchströmung der Rotorfläche ohne eine Luftabbremsung entzieht dem Wind keine Energie. Es muß zwischen diesen beiden Extremen ein Optimum der Windenergieentnahme aus den bewegten Luftmassen geben. Es gilt ein Zahlenverhältnis von v2/v1 zu finden, bei dem die entziehbare Leistung ein Maximum wird.

Es wird nun davon ausgegangen, daß sich die Geschwindigkeit am Rotor ví als das arithmetische Mittel aus den Geschwindigkeiten v1 vor dem Rotor und v2 nach dem Rotor ergibt. Der Beweis dafür wird im anschließenden Kapitel über das Theorem von Froude-Rankine nachgereicht.

                                                                                                                                                         (2.8)

Der Massendurchsatz wird damit:

                                                                                                               (2.9)

Somit ergibt sich die mechanische Leistung des Wandlers und damit die dem Wind entzogene Leistung P in Abhängigkeit der Windgeschwindigkeit.

                                                                                                           (2.10)

Die Energieentnahme durch ein ideales Windrad kann durch den Betzschen Leistungsbeiwert cp beschrieben werden. Der Leistungsbeiwert ist definiert als der Quotient aus der dem Wind entzogenen zur insgesamt enthaltenen Leistung.

                                                                                                (2.11)

Nach Kürzungen und Umformungen kann der Leistungsbeiwert als Geschwindigkeitsverhältnis v2/v1 der Windgeschwindigkeit vor und nach dem Windrad ausdrückt werden und man sieht, daß der Leistungsbeiwert nur davon abhängt, wie stark der Wind abgebremst wird.

                                                                                                            (2.12)

Laut Betz wird der Leistungsbeiwert maximal, wenn die Windgeschwindigkeit durch den Rotor genau um zwei Drittel vermindert wird. Dies kann durch Differenzieren und anschließende Nullstellenbestimmung nachgewiesen werden.

                                                                                                            (2.13)

Demnach ergibt sich der maximale Leistungsbeiwert cp,max mit

                                                                                                                                             (2.14)

Diese Zusammenhänge sind natürlich auch graphisch darstellbar und man sieht, daß der Leistungsbeiwert sein Maximum bei einem Geschwindigkeitsverhältnis v2/v1 von 1/3 hat.

Infolge dieser Zusammenhänge können maximal 16/27 der in den strömenden Luftmassen enthaltenen Energie durch ein ideales Windrad entnommen werden. Der theoretisch maximale Wirkungsgrad einer idealen Windkraftanlage liegt damit bei 59,3%.

 
 
Abb. 3: Verlauf des Leistungsbeiwertes über dem Geschwindigkeitsverhälnis vor und hinter dem Energiewandler
 

  

2.2 Froude-Rankinesches Theorem

    Die Erklärung dafür, daß die Geschwindigkeit ví in der Radebene nach der Betzschen Theorie tatsächlich der Mittelwert aus den Geschwindigkeiten weit vor und hinter dem Rad ist, wird jetzt nachgetragen. Der Schub kann einerseits durch den Impulssatz ausgedrückt werden.

                                                                                                                                 (2.15)

    S Schubkraft [N]

    Andererseits kann man ihn aus der Bernoulli Gleichung (Energiebilanz) ableiten, die zuerst für den Bereich vor der Radebene und dann für den Bereich danach angesetzt wird.

                                                                                                                     (2.16)

                                                                                                                     (2.17)

    p Impuls [N/m²]

    Der Index "-" bezeichnet die Ebene dicht vor und "+" die Ebene dicht hinter dem Rad.

    Aus Kontinuitätsgründen muß die Geschwindigkeit dicht vor und dicht hinter dem Rad gleich sein (ví- = ví+). Andererseits ist der statische Druck weit vor dem Rad auch gleich dem statischen Druck weit hinter dem Rad (p1 = p2). Somit ergibt die Addition von (2.16) und (2.17)

                                                                                                                     (2.18)

    Der Schub entsteht nach dieser (energetischen) Betrachtung durch die Differenz des statischen Drucks vor und hinter der Radebene

                                                                                                                                (2.19)

    Drückt man in Gleichung (2.15) noch den Massendurchsatz durch aus und führt dann Gleichung (2.11) und (2.12) ein, erhält man den oben benutzten Ausdruck für die Geschwindigkeit ví in der Radebene.

                                                                                                                                         (2.20)

    [15, S.124]

 
 
 
2.3 Die Schnellaufzahl l
       
          Ein Flugzeug kann die Schwerkraft erst dann überwinden, wenn es auf der Startbahn eine gewisse Geschwindigkeit erreicht hat, und der Tragflügel genug Auftriebskraft erfährt. Ebenso hängt der optimale Blattauftrieb einer Windkraftanlage vom Erreichen einer vorgegebenen Umlaufgeschwindigkeit ab. Der Auftrieb eines Rotorblattes ist somit abhängig vom Verhältnis der Umlaufgeschwindigkeit am jeweiligen Punkt des Rotorblattes zur herrschenden Windgeschwindigkeit. Dieses Verhältnis wird als Schnellaufzahl l bezeichnet. Als Bezugsgröße zur Ermittlung der Schnellaufzahl wird üblicherweise die Umlaufgeschwindigkeit u der Rotorblattspitze verwendet.

                                                                                                                                                              (2.21)

          v Windgeschwindigkeit [m/s]

          u Umlaufgeschwindigkeit [m/s]

2.4 Auslegung nach Schmitz
2.5 Rotorbauarten
     
 
Um erheblich höhere Leistungsbeiwerte zu erreichen wird beim Auftriebsprinzip die Form der Rotorblätter so gestaltet, daß der aerodynamische Auftrieb genutzt werden kann. Die Ausnutzung des aerodynamischen Auftriebes, analog den Verhältnissen an einem Flugzeugtragflügel, steigert den Wirkungsgrad beträchtlich.

Rotoren moderner Windkraftanlagen werden nur mehr nach dem Auftriebsprinzip ausgelegt. Die am meisten verwendete Bauform ist der Propellertyp mit horizontaler Drehachse.

Abb. 7: Anströmungsgeschwindigkeiten und Luftkräfte an einem
propellerartigen, auftriebsnutzenden Rotor [17, S.70]

 
 
Es kommt zu einer vektoriellen Überlagerung der Windgeschwindigkeit vW mit der Bewegungsgeschwindigkeit vu des Rotorblattes. Beim rotierenden Rotorblatt ist dies die Umfangsgeschwindigkeit an einem Blattquerschnitt in einem bestimmten Abstand zur Drehachse. Die sich ergebende Anströmgeschwindigkeit vres bildet mit der Profilsehne den aerodynamischen Anstellwinkel. Die entstehende Luftkraft wird zerlegt in eine Komponente in Richtung der Anströmgeschwindigkeit, den Widerstand W und in eine Komponente AT in der Drehebene des Rotors und eine zweite senkrecht zur Drehebene. Die sogenannte Tangentialkomponente AT bildet das Antriebsmoment des Rotors, während AS für den Rotorschub verantwortlich ist.

Das Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand wird als Gleitzahl E bezeichnet. Moderne Profile, wie sie für Flugzeugtragflügel und Windrotoren verwendet werden, können Gleitzahlwerte bis zu 200 erreichen. Aus dieser Tatsache läßt sich qualitativ erkennen, um wieviel günstiger die Nutzung des aerodynamischen Auftriebes ist. Eine quantitative Berechnung der erzielbaren Leistungsbeiwerte ist bei auftriebsnutzenden Rotoren nicht mehr mit Hilfe elementarer physikalischer Beziehungen möglich. Hierzu sind aufwendigere theoretische Modellvorstellungen erforderlich. [17, S.69]
 

Abb. 8: Konstruktion der Geometrie eines Flügels und seiner Verwin-dung [49, S.61]

 
Bei modernen Tragflügelprofilen ist der Widerstand deutlich geringer als 1% des Auftriebs. Nach der Theorie von Betz kann mit dem Auftriebsprinzip maximal knapp 60% der im Wind enthaltenen Energie nutzbar gemacht werden. Bei marktgängigen Anlagen liegt der Wirkungsgrad im Bestpunkt gegenwärtig im Bereich von 40 bis maximal 50%. Gute Windkraftkonverter sind derzeit durch einen mittleren Wirkungsgrad von rund 45% gekennzeichnet. Der Grund hierfür liegt in Verlusten aufgrund von nicht optimaler aerodynamischer Anpassung der Rotorblätter an die aktuellen Windverhältnisse, der Reibung in den Lagern, im Getriebe und im Generator, wie sie bei technischen Realisierungen immer gegeben sind.

Das Flügelprofil soll immer unter dem jeweils günstigsten Winkel angeströmt werden, damit die Strömung laminar am Profil anliegt. In Abhängigkeit von Windgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit ändern sich Größe und Winkel der Anströmgeschwindigkeit am jeweiligen Punkt des Rotorblattes . Die Umfangsgeschwindigkeit ist an der Flügelspitze am größten und nimmt zur Nabe hin ab. Daraus ergibt sich eine Zunahme des Anströmwinkels von

der Blattspitze in Richtung Nabe. Damit das Flügelprofil an jedem Punkt des Rotorblattes optimal angeströmt wird, werden daher die Rotorblätter mit Verwindung ausgeführt.